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Standortwahl - Steiner-Weber-Modell

Steiner-Weber-Modell

Das Steiner-Weber-Modell ist ein kontinuierliches Modell. Jeder Punkt in einer Ebene ist ein möglicher Standort. Dieser kann mitten auf einem Berg liegen, in einem See oder weit weg von der nächsten Straße. Aber es wird im Vorwege kein potentieller Standort ausgeschlossen.

Steiner-Weber im Koordinatensystem

Das Steiner-Weber Modell geht von folgenden Prämissen aus.

  • es gibt ein einheitliches Transportsystem
  • Transportkosten ergeben sich proportional zu Entfernung und Gewicht
  • es gibt keine regionalen Monopole
  • räumliche Lage der Inputfaktoren und der Nachfrager, sowie der Bedarf sind bekannt
  • bei gegebenem Lohnsatz sind Arbeitskräfte unbegrenzt verfügbar
  • einheitliches wirtschaftliches, politisches und kulturelles System innerhalb des betrachteten Raumes
  • jeder beliebige Punkt in der Ebene ist ein möglicher Standort für das Zentrallager

 

Bitte beachten :"u" und "v" sind die X bzw. Y Koordinaten der Niederlassungen. Bitte beachten :"u" und "v" sind die X bzw. Y Koordinaten der Niederlassungen.

Die Gesamtkosten C am gewählten Standort für das Zentrallager (ZL) sind also Summe aus den Kosten die sich für die Deckung des gesamten Bedarfes der Niederlassungen (NL) ergeben.  Als Anfangswert für das Zentrallager wird ein beliebiger Punkt in der Ebene gewählt.

Aufbau des Rechenweges anhand einer Beispielrechnung:

  • es gelten die Koordinaten aus oben gezeichnetem Koordinatensystem
  • es soll der Standort optimale Standort für das Zentrallager ZL bestimmt werden
  • x- und y-Koordinaten können unabhängig voneinander bestimmt werden
  • es handelt sich um ein kollineares Standortproblem
  • die X-bzw Y Koordinaten der Niederlassungen werden in der Formel mit u- bzw. v bezeichnet, damit es nicht zu Verwechselungen kommt.

 

Steiner-Weber mit rechtwinkliger Distanz

Bei Verwendung der rechtwinkligen Distanz, können die X-und Y-Koordinaten sehr einfach durch sortieren bestimmt werden.

Schritt 1

Schritt 1

Erfassung der Koordinaten der einzelnen Niederlassungen in einer Tabelle und Zuordnung der jeweiligen Bedarfe. Weiterhin werden die Bedarfe kumuliert und die Hälfte des totalen Bedarfes errechnet. Hier Zelle D11.

Schritt 2

Schritt 2

Die Niederlassungen werden nun anhand ihrer X-Koordinaten aufsteigend sortiert. Die kumulierten Werte müssen bei Bedarf neu bestimmt werden. Anschließend wird die Zeile identifiziert bei der der "Gesamt-Halbe"-Betrag das erste Mal überschritten wird. Hier ist es Zeile 6, Niederlassung 5. Die optimale X-Koordinate (x=12) wird abgelesen.

Schritt 3

Schritt 3

Das selbe passiert mit der Y-Koordinate. Die Niederlassungen werden aufsteigend nach ihren Y-Koordinaten sortiert. Die Niederlassung bei der "Gesamt-Halbe"-Bedarf überschritten wurde, wird identifiziert. Die Y-Koordinate kann abgelesen werden, hier ist es y*= 4.

 

Fazit

Bei der Ermittlung des TKM mittels rechtwinkliger Distanzmessung liegt der optimale Ort für das Zentrallager an der Koordinate 12;4. Der im Bild frei gewählte Punkt rückt also wesentlich dichter an die Niederlassungen mit den höchsten Bedarfen. Das wären hier NL 4, NL5, NL6.

 

Steiner-Weber mit euklidischer Distanz

Für euklidische Distanz hier nur mal ein sehr kurzer Abriss. Zur Bestimmung können die Werte in die Formel eingesetzt werden.

Nach dem Auflösen der Optimalitätsbedingung (hier nicht genannt) nach x und y ergeben sich diese Formeln. Es zeigt sich, dass X und Y sich nicht vollständig isolieren lassen.  Als  Lösungsmöglichkeit bietet sich in diesem Fall "Miehle´s iterativem Approximationsansatz" an. Mit diesem Verfahren kann die Aufgabe annähernd optimal gelöst werden. Kurze Erklärung zu Miehle´s Verfahren: Begonnen wird mit einem frei gewählten Koordinatenpaar  (x;y) für das Zentrallager. Dieses Koordinatenpaar wird für X und Y in die Formel eingesetzt, damit umgeht man den Umstand der nicht isolierten Elemente X und Y und beginnt einfach  mit einem fiktiven Wert, z.B. x;y = 1;1). Nach dem ersten Rechendurchlauf, erhält man einen besseren Standort als der Ausgangswert (war hier 1;1) dargestellt hat. Mittels Iterationen - die besseren Werte werden immer wieder als "Ausgangspunkt" eingesetzt - erhält man von Durchlauf zu Durchlauf einen besseren Standort. Sobald die Änderungen von Iteration zu Iteration sich in einem Rahmen bewegen der gering genug ist, kann das Verfahren abgebrochen werden. Ein annähernd optimaler Standort wurde bestimmt. Dieser Rahmen wird auch als Alpha bezeichnet. Beispielweise wird vorher bestimmt, dass der Abbruch der Iterationen erfolgen kann, wenn der neue Standort nur noch 5% vom davor ermittelten Standort entfernt liegt.

 

Kritische Würdigung "Steiner-Weber-Modell"

  • positiv
  • jeder mögliche Standort wird beachtet
  • durch starke Vereinfachung der Realität einfache und unkomplexe Handhabung für schnellen Überblick
  • negativ
  • realitätsferne, vereinfachende Annahme
  • unrealistische Kostenstrukturen
  • Vernachlässigung der Erlösseite
  • Bedarf steht fest (und muss feststehen)
  • Befriedigung des gesamten Bedarfes aus einem Zentrallager (nicht immer realitätsnah)
  • keine Beachtung der Infrastrukturkosten
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kleiner Hinweis

Hinweise, Anregungen und vor allem Kritik - egal ob positiv oder negativ - sind immer willkommen und ausdrücklich erwünscht.

Beste Grüße aus Hamburg
Carsten Schmidt